例：2x²+10x+12を因数分解する

2x² + 10x + 12

1. すべての項に2がある
= 2(x² + 5x + 6)

2. かっこの中は x²+bx+c の形
足して5、かけて6になる数を探す
→ 2 と 3

3. 因数分解する
= 2(x + 2)(x + 3)

このように、「共通因数を見る」「項数を見る」「公式に当てはまるかを見る」の順に進めると、使う方法を選びやすくなります。

1. 共通因数を見る：すべての項に同じ数や文字があれば、先にくくります。
2. 項数を見る：2項、3項、4項のどれかを確認します。
3. 2項なら平方差を見る：a²-b²の形なら、(a+b)(a-b)にします。
4. 3項なら完全平方またはx²+bx+cを見る：両端が二乗なら中央が±2abか確認し、それ以外は足して中央、かけて最後になる2数を探します。
5. 符号や共通因数を整理する：先頭がマイナスなら必要に応じてマイナスでくくり、くくった後のかっこの中も確認します。
6. 最後まで分解して検算する：さらに分解できないかを確認し、必要なら展開して元の式に戻るか確かめます。

共通因数、符号、展開、途中式で何度もつまずく場合は、文字式や正負の数まで戻る必要があることもあります。前の単元を含めて確認したい場合は、数学の学校対策も参考にしてください。

展開と因数分解の関係

展開
(x + 2)(x + 3)
= x² + 5x + 6

因数分解
x² + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3)

因数分解では、式を見て「どのかけ算の形に戻せるか」を考えます。項数、符号、二乗の有無から式の特徴を見分けることが大切です。

展開はできるのに因数分解ができない理由

展開は、かっこを外して計算する向きの作業です。一方、因数分解は、ばらばらに見える項から元のかっこを作る作業です。

展開ができても因数分解で詰まる場合は、中央の項、定数項、符号、二乗になっているかを順番に見て、展開結果を逆向きに読む練習が必要です。

スマートフォンでは、表を横へスクロールして確認できます。

• 中1：文字式、方程式、正負の数など、代数計算の土台を学ぶ
• 中2：式の計算、連立方程式、一次関数などで文字式の扱いに慣れる
• 中3：展開、乗法公式、因数分解、二次方程式へ進むことが多い

因数分解が難しく感じるときは、中1・中2で学んだ文字式の計算や符号の扱いが関係していることもあります。

二次方程式で使う例

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 または x - 3 = 0
x = 2、3

中学数学でつながる内容

• 二次方程式を解くときに、式をかけ算の形に直して考える
• 式の計算で、共通因数をくくって整理する
• 関数や図形の問題で、式を扱いやすい形に変形する
• 高校数学の二次関数、方程式、不等式などの土台になる

例題1 数を共通因数としてくくる

6x + 9
= 3(2x + 3)

6xと9の両方を割り切れる3をかっこの外へ出します。

例題2 数と文字を共通因数としてくくる

4x² + 8x
= 4x(x + 2)

4x²と8xには、4とxが共通しています。文字は小さい方の次数に合わせてくくります。

共通因数を見落とした誤答例

よくない例
2x² + 8x + 8
→ x² + 4x + 4
→ (x + 2)²

正しい例
2x² + 8x + 8
= 2(x² + 4x + 4)
= 2(x + 2)²

共通因数の2を勝手に消してはいけません。最初に外へ出した数は最後まで残します。

共通因数の後にx²+bx+cを使う

6x² + 18x + 12
= 6(x² + 3x + 2)
= 6(x + 1)(x + 2)

共通因数の後に平方差を使う

2x² - 18
= 2(x² - 9)
= 2(x + 3)(x - 3)

共通因数の後に完全平方を使う

3x² + 12x + 12
= 3(x² + 4x + 4)
= 3(x + 2)²

例題 先頭がマイナスの三項式

-x² + 5x - 6
= -(x² - 5x + 6)
= -(x - 2)(x - 3)

共通因数を出した後に平方差を見る

-2x² + 18
= -2(x² - 9)
= -2(x + 3)(x - 3)

-(x²-5x+6)を展開すると、-x²+5x-6に戻ります。符号に迷ったら展開して確認しましょう。

例題3 平方差の公式を使う

x² - 25
= x² - 5²
= (x + 5)(x - 5)

• x²はxの二乗、25は5の二乗です。
• a²-b²=(a+b)(a-b)の形に当てはめます。
• かっこの符号は、片方がプラス、もう片方がマイナスになります。

平方差に見えるが違う例

x² + 25

x²+25は、どちらも二乗ですが間がプラスです。平方差の公式はa²-b²なので、二乗の和にはそのまま使えません。

例題4 プラスの完全平方

x² + 6x + 9
= x² + 2・x・3 + 3²
= (x + 3)²

例題5 マイナスの完全平方

x² - 8x + 16
= x² - 2・x・4 + 4²
= (x - 4)²

完全平方とそうでない式を比較する

スマートフォンでは、表を横へスクロールして確認できます。

(x+m)(x+n)を展開して考える

(x + m)(x + n)
= x² + nx + mx + mn
= x² + (m + n)x + mn

m+n=b、mn=cとなる2つの数を探せばよいことが分かります。

例題6 x²+5x+6を因数分解する

足して 5、かけて 6 になる数
→ 2 と 3

x² + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3)

1. 定数項を見る：cの約数の組を出す。
2. 積を確認する：かけてcになるかを見る。
3. 和を確認する：足してbになるかを見る。
4. 符号を見る：定数項がプラスなら同符号、マイナスなら異符号で考える。
5. 見つからなければ：整数の範囲で因数分解できない可能性を確認する。

同じ12でも、中央の係数と符号で答えが変わる

たとえばx²+2x+3では、かけて3になる整数の組は1と3ですが、足すと4になります。このように約数の組を確認しても合わない場合は、整数の範囲で因数分解できない可能性があります。

符号を間違えたときは展開する

よくない例
x² - x - 6
= (x - 2)(x + 3)

展開すると
= x² + x - 6

正しい例
x² - x - 6
= (x - 3)(x + 2)

例題 2x²+7x+3を因数分解する

2x² + 7x + 3

1. 2 × 3 = 6

2. かけて6、足して7
→ 1 と 6

3. 中央の項を分ける
2x² + x + 6x + 3

4. 2項ずつくくる
= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

5. 同じかっこをくくる
= (2x + 1)(x + 3)

もう1問確認する

3x² + 10x + 8
3 × 8 = 24

かけて24、足して10
→ 4 と 6

3x² + 4x + 6x + 8
= x(3x + 4) + 2(3x + 4)
= (3x + 4)(x + 2)

例題 ax+ay+bx+byを因数分解する

ax + ay + bx + by
= a(x + y) + b(x + y)
= (a + b)(x + y)

2項ずつまとめても同じかっこが出ない場合は、組み合わせを変えると見えることがあります。

「できない」と判断する前に、共通因数や約数の組を見落としていないか確認しましょう。

2x² + 10x + 12
= 2(x² + 5x + 6)
= 2(x + 2)(x + 3)

最初に2でくくった行を残すと、最後に2を落とすミスを防ぎやすくなります。

省かない方がよい途中式

• 共通因数でくくった行
• マイナスでくくった行
• 平方差や完全平方だと分かる形に直した行
• 中央の項を分けた行
• 展開して確かめた行

答え
(x + 2)(x + 3)

展開して確認
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6

特にマイナスを含む問題では、展開による確認で符号ミスを見つけやすくなります。

• 共通因数を見落とす：問題を見たら、公式より先にすべての項に共通する数や文字を確認します。
• 平方差と二乗の和を混同する：x²-25は平方差ですが、x²+25は平方差ではありません。
• 完全平方を最後の項だけで判断する：両端だけでなく、中央が±2abかを確認します。
• 最後まで分解しない：2(x²-9)のように、くくった後のかっこの中ももう一度見ます。

1. 公式別に解く：共通因数、平方差、完全平方、x²+bx+cを分けて練習する。
2. 見る順番をそろえる：共通因数、項数、二乗、符号の順に見る。
3. 混合問題へ進む：使う公式が指定されていない問題を解く。
4. 間違いを原因別に分ける：「共通因数」「符号」「完全平方」「2数探し」など、判断した場所ごとに見直す。
5. 展開で検算する：答えが元の式に戻るか確かめる。

定期テスト前に確認すること

• 共通因数を最初に確認できるか
• 2項と3項を見て、平方差・完全平方・x²+bx+cを選べるか
• マイナスを含む問題で2数の符号を決められるか
• 共通因数でくくった後も最後まで分解し、展開で確認できるか

基本問題

1. 8x + 12
2. x² - 49
3. x² - 10x + 25
4. x² + 5x + 6
5. x² + 7x + 12
6. x² - 7x + 12

混合問題

1. x² - x - 6
2. 2x² + 10x + 12
3. 6x² + 18x + 12
4. 3x² - 27
5. -x² + 5x - 6
6. -2x² + 18
7. x² + 4x + 5

発展問題

1. 2x² + 5x + 2
2. ax + ay + bx + by
3. 3x² + 10x + 8

• 公式は言えるが、混合問題になると使う方法を選べない
• 共通因数を確認せず、いきなり公式へ当てはめている
• 平方差と完全平方を混同している
• マイナスを含む問題で、2数の符号を説明できない
• 途中式がなく、同じ種類のミスを繰り返している

答えだけでなく、「最初に何を見たか」「どの2数を選んだか」など、途中の判断を確認することが大切です。

• 正負の数の符号処理
• 文字式の計算
• 展開と乗法公式
• 方程式の計算
• 途中式を残して考える習慣

因数分解で急につまずいたように見えても、前の単元の計算が関係していることがあります。

学校の進度、定期テスト、宿題の負担なども含めて学習状況を整理したい場合は、中高一貫個別指導の判断材料ページも参考にしてください。