• 因数分解とは何かを、展開との関係から確認する
• 因数分解のやり方を、共通因数、項数、公式、検算の順で整理する
• 問題を見たときの判断表で、使う方法を選びやすくする
• 因数分解の公式と見分け方を早見表で比較する
• x²+bx+cの2数の探し方を、約数の組と符号から確認する
• マイナスを含む問題で、符号の扱いを確認する
• 確認問題を、基本・混合・発展に分けて練習する

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標準フロー

1. 共通因数を見る：すべての項に同じ数や文字があれば、先にくくる。
2. 項数を見る：2項か3項か、4項かを確認する。
3. 2項なら平方差を見る：a²-b²の形なら、(a+b)(a-b)にする。
4. 3項なら完全平方を見る：両端が二乗で、中央が±2abか確認する。
5. 3項ならx²+bx+cを見る：足してb、かけてcになる2数を探す。
6. 先頭がマイナスなら符号を見る：必要に応じて、全体をマイナスでくくる。
7. 共通因数を出した後も見る：かっこの中が平方差、完全平方、x²+bx+cになっていないか確認する。
8. 答えを確認する：展開して元の式に戻るか、かっこの中がさらに分解できないかを見る。

見分け方を通して1問解く例

2x² + 10x + 12

1. すべての項に2がある
= 2(x² + 5x + 6)

2. かっこの中は x²+bx+c の形
足して 5、かけて 6 になる数
→ 2 と 3

3. 因数分解する
= 2(x + 2)(x + 3)

この問題では、最初に共通因数を見ないと、かっこの中の基本形が見えにくくなります。因数分解では「先にくくる」が大切です。

展開と因数分解の関係

展開
(x + 2)(x + 3)
= x² + 5x + 6

因数分解
x² + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3)

因数分解では、式を見て「どのかけ算の形に戻せるか」を考えます。公式だけでなく、項数、符号、二乗の有無から式の特徴を見分けることが大切です。

展開はできるのに因数分解ができない理由

展開は、かっこを外して計算する向きの作業です。一方、因数分解は、ばらばらに見える項から元のかっこを作る作業です。

そのため、展開ができても因数分解で詰まる場合は、中央の項、定数項、符号、二乗になっているかを順番に見て、展開結果を逆向きに読む練習が必要です。

展開と因数分解を対応させる

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• 中1：文字式、方程式、正負の数など、代数計算の土台を学ぶ
• 中2：式の計算、連立方程式、一次関数などで文字式の扱いに慣れる
• 中3：展開、乗法公式、因数分解、二次方程式へ進むことが多い

因数分解が難しく感じるときは、中3の内容だけでなく、中1・中2で学んだ文字式の計算や符号の扱いが原因になっていることもあります。

二次方程式で使う例

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 または x - 3 = 0
x = 2、3

因数分解できると、二次方程式をかけ算の形にして考えられます。中3以降の学習で使うため、早めに見分け方を身につけておくことが大切です。

中学数学でつながる内容

• 二次方程式を解くときに、式をかけ算の形に直して考える
• 式の計算で、共通因数をくくって整理する
• 関数や図形の問題で、式を扱いやすい形に変形する
• 高校数学の二次関数、方程式、不等式などの土台になる

例題1 数を共通因数としてくくる

6x + 9
= 3(2x + 3)

• 6xと9の両方を割り切れる数は3です。
• 3をかっこの外へ出し、それぞれを3で割った式をかっこの中に書きます。

例題2 数と文字を共通因数としてくくる

4x² + 8x
= 4x(x + 2)

• 4x²と8xには、4とxが共通しています。
• x²とxに共通する文字はxです。小さい方の次数に合わせてくくります。

共通因数を見落とした誤答例

よくない例
2x² + 8x + 8
→ x² + 4x + 4
→ (x + 2)²

正しい例
2x² + 8x + 8
= 2(x² + 4x + 4)
= 2(x + 2)²

共通因数の2を勝手に消してはいけません。最初に外へ出した数は、最後の答えにも残します。

このタイプは発展ではなく、基本の延長として確認しましょう

共通因数でくくった後に、かっこの中をもう一度見ることが大切です。2(x²+5x+6)のような形で終わりにせず、さらに分解できるか確認しましょう。

共通因数の後にx²+bx+cを使う

6x² + 18x + 12
= 6(x² + 3x + 2)
= 6(x + 1)(x + 2)

最初に6でくくると、かっこの中がx²+3x+2になります。足して3、かけて2になる1と2を使って、さらに因数分解します。

共通因数の後に平方差を使う

2x² - 18
= 2(x² - 9)
= 2(x + 3)(x - 3)

かっこの中のx²-9は平方差です。2(x²-9)のままにせず、最後まで因数分解します。

共通因数の後に完全平方を使う

3x² + 12x + 12
= 3(x² + 4x + 4)
= 3(x + 2)²

最初に共通因数3でくくると、かっこの中が完全平方になります。

例題 先頭がマイナスの三項式

-x² + 5x - 6
= -(x² - 5x + 6)
= -(x - 2)(x - 3)

マイナスでくくった後は、かっこの中のx²-5x+6を普通のx²+bx+cとして考えます。

例題 共通因数を出した後に平方差を見る

-2x² + 18
= -2(x² - 9)
= -2(x + 3)(x - 3)

共通因数を出した後も、かっこの中がさらに因数分解できるかを確認します。

-(x²-5x+6)を展開すると、-x²+5x-6に戻ります。マイナスでくくった問題は、最後に展開して符号が元に戻るか確認すると安心です。

例題3 平方差の公式を使う

x² - 25
= x² - 5²
= (x + 5)(x - 5)

• x²はxの二乗、25は5の二乗です。
• a²-b²=(a+b)(a-b)の形に当てはめます。
• かっこの符号は、片方がプラス、もう片方がマイナスになります。

平方差に見えるが違う例

x² + 25

x²+25は、x²と25がどちらも二乗ですが、間がプラスです。平方差の公式はa²-b²の形なので、二乗の和にはそのまま使えません。

例題4 プラスの完全平方

x² + 6x + 9
= x² + 2・x・3 + 3²
= (x + 3)²

9は3²です。中央の6xが2・x・3になっているため、(x+3)²にできます。

例題5 マイナスの完全平方

x² - 8x + 16
= x² - 2・x・4 + 4²
= (x - 4)²

中央の項がマイナスの場合は、因数分解したかっこの中もマイナスになります。

完全平方とそうでない式の連続比較

最後の数が少し変わるだけで、使う方法が変わります。中央の項と最後の項をセットで確認しましょう。

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完全平方は、最後の項が二乗になっているだけでは足りません。中央の項が2abまたは-2abになっているかまで見ることが必要です。

(x+m)(x+n)を展開して考える

(x + m)(x + n)
= x² + nx + mx + mn
= x² + (m + n)x + mn

この展開結果から、m+n=b、mn=cとなる2つの数を探せばよいことが分かります。

例題6 x²+5x+6を因数分解する

足して 5、かけて 6 になる数
→ 2 と 3

x² + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3)

1. 定数項6になるかけ算を考えます。
2. 1と6は足すと7、2と3は足すと5です。
3. 和が5、積が6になる2と3を選びます。
4. 2と3を使い、(x+2)(x+3)とします。

2つの数を探す流れ

1. 定数項を見る：最後の数cの約数の組を出す。
2. 積を確認する：2つの数をかけてcになるかを見る。
3. 和を確認する：2つの数を足して、中央の係数bになるかを見る。
4. 符号を見る：定数項がプラスなら同符号、マイナスなら異符号で考える。
5. 見つからない場合：整数の範囲で因数分解できない可能性を確認する。

同じ12でも、中央の係数と符号で答えが変わる

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たとえばx²+2x+3では、かけて3になる整数の組は1と3ですが、足すと4になり、中央の2にはなりません。このように約数の組を確認しても合わない場合は、整数の範囲で因数分解できない可能性があります。

符号違いの比較

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定数項がプラスなら2つの数は同符号、定数項がマイナスなら異符号です。異符号の場合は、絶対値が大きい方の符号で和の符号が決まります。

符号を間違えた誤答例

符号の間違いは、展開して確認すると見つけやすくなります。

よくない例
x² - x - 6
= (x - 2)(x + 3)

展開して確認
(x - 2)(x + 3)
= x² + 3x - 2x - 6
= x² + x - 6

正しい例
x² - x - 6
= (x - 3)(x + 2)

間違えた答えを展開すると、中央の項が+xになっています。元の式は-xなので、符号が合っていないと分かります。

例題 2x²+7x+3を因数分解する

2x² + 7x + 3

1. 先頭の係数と定数項をかける
2 × 3 = 6

2. かけて6、足して7になる数を探す
→ 1 と 6

3. 中央の項を分ける
2x² + x + 6x + 3

4. 2項ずつくくる
= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

5. 同じかっこをくくる
= (2x + 1)(x + 3)

中央の項を分けた後、2項ずつくくると同じかっこが出てきます。その同じかっこをさらにくくると、因数分解できます。

もう1問確認する

3x² + 10x + 8

3 × 8 = 24
かけて24、足して10になる数
→ 4 と 6

3x² + 4x + 6x + 8
= x(3x + 4) + 2(3x + 4)
= (3x + 4)(x + 2)

先頭の係数が1でない問題では、中央の項をどう分けるかが大切です。分けた後に、同じかっこが出るかを確認しましょう。

例題 ax+ay+bx+byを因数分解する

ax + ay + bx + by
= a(x + y) + b(x + y)
= (a + b)(x + y)

前半の2項からa、後半の2項からbをくくると、どちらにも(x+y)が出てきます。

2項ずつまとめても同じかっこが出ない場合は、組み合わせを変えると見えることがあります。ただし、無理にまとめようとせず、まず共通因数や平方差など基本の形を先に確認しましょう。

確認する流れ

1. すべての項に共通因数があるか。
2. 2項なら、平方差になっているか。
3. 3項なら、完全平方になっているか。
4. x²+bx+cなら、足してb、かけてcになる整数の組があるか。
5. どれにも当てはまらない場合は、整数の範囲で因数分解できない可能性を見る。

因数分解できる式・できない式の比較

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「できない」と判断する前に、約数の組を確認したか、共通因数を見落としていないかをもう一度見ましょう。

途中式を残した方がよい例

2x² + 10x + 12
= 2(x² + 5x + 6)
= 2(x + 2)(x + 3)

最初に2でくくったことを残しておくと、最後の答えで2を落とすミスを防ぎやすくなります。

省かない方がよい途中式

• 共通因数でくくった行
• マイナスでくくった行
• 平方差や完全平方だと分かる形に直した行
• 中央の項を分けた行
• 展開して確かめた行

検算の例

答え
(x + 2)(x + 3)

展開して確認
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6

元の式がx²+5x+6なら、展開して同じ式に戻っているため、答えは合っています。

マイナスを含む因数分解では、答えの符号が少し違うだけで中央の項が変わります。判断しにくいときは、必ず展開して元の式に戻るか確認しましょう。

共通因数を見落とす

最初に共通因数を確認しないと、最後まで因数分解できていない答えになりやすくなります。

2x² + 10x + 12
= 2(x² + 5x + 6)
= 2(x + 2)(x + 3)

平方差と二乗の和を混同する

x²-25は平方差ですが、x²+25は平方差ではありません。間の符号がマイナスかどうかを必ず確認しましょう。

完全平方を最後の項だけで判断する

最後の項が二乗でも、中央の項が±2abでなければ完全平方にはなりません。両端と中央をセットで確認しましょう。

最後まで分解しない

2(x²-9)のように共通因数でくくった後、かっこの中がさらに平方差になっていることがあります。かっこの中をもう一度見る習慣をつけましょう。

勉強する流れ

1. 公式別に解く：共通因数、平方差、完全平方、x²+bx+cを分けて練習する。
2. 見る順番をそろえる：共通因数、項数、二乗、符号の順に見る。
3. 混合問題へ進む：どの公式を使うかが指定されていない問題で練習する。
4. 間違いを原因別に分ける：共通因数の見落とし、符号ミス、完全平方の判断ミス、2数が見つからない、最後まで分解していない、などに分ける。
5. 展開で検算する：答えを展開して、元の式に戻るかを確認する。

学校ワークを見直すときの分け方

• 共通因数の見落とし：すべての項に同じ数や文字があるかを最初に見ていない。
• 符号ミス：定数項がプラスかマイナスかを確認せず、2つの数の符号を決めている。
• 完全平方の判断ミス：両端だけを見て、中央の項が±2abかを確認していない。
• 2数が見つからない：約数の組を書き出さず、感覚だけで探している。
• 最後まで分解していない：共通因数でくくった後、かっこの中をもう一度見ていない。

因数分解は、同じミスをそのままにすると混合問題で解きにくくなります。正解か不正解だけでなく、どの判断でつまずいたかを分けて見直しましょう。

• 共通因数を最初に確認できるか
• 2項なら平方差を見られるか
• 3項なら完全平方かx²+bx+cかを見分けられるか
• 足してb、かけてcになる2数を探せるか
• マイナスを含む問題で符号を説明できるか
• 共通因数でくくった後、さらに分解できるか確認しているか
• 整数の範囲で因数分解できない式を無理に分解していないか
• 答えを展開して元の式に戻るか確認できるか

確認問題の使い方

• 基本を確認したい人：基本問題から解きましょう。
• 定期テスト前の人：基本問題と混合問題まで解きましょう。
• 発展まで扱う学校の人：発展問題まで進みましょう。
• 間違えた問題：解答だけでなく、「見たポイント」まで確認しましょう。

基本問題

1. 8x + 12
2. x² - 49
3. x² - 10x + 25
4. x² + 5x + 6
5. x² + 7x + 12
6. x² - 7x + 12

混合問題

1. x² - x - 6
2. 2x² + 10x + 12
3. 6x² + 18x + 12
4. 3x² - 27
5. -x² + 5x - 6
6. -2x² + 18
7. x² + 4x + 5

発展問題

1. 2x² + 5x + 2
2. ax + ay + bx + by
3. 3x² + 10x + 8

公式は言えるのに混合問題で選べない、符号だけ何度も間違える、途中式がなく間違いを追えない場合は、因数分解だけでなく、式の計算や展開など前の単元も関係していることがあります。数学全体の学校対策を確認したい場合は、数学の学校対策も参考にしてください。

家庭で見やすいチェックポイント

• 公式は言えるが、混合問題になるとどれを使うか選べない
• 共通因数を最初に見ず、いきなり公式へ当てはめようとしている
• 2項と3項を分けて考えられていない
• 共通因数でくくった後、かっこの中をもう一度確認していない
• 平方差と完全平方を混同している
• マイナスを含む問題で、2つの数の符号を説明できない
• 途中式を残しておらず、間違えた場所を確認できない
• 学校ワークの同じ単元で、同じ種類のミスを繰り返している

因数分解では、答えが合ったかどうかだけでなく、「最初に共通因数を見たか」「平方差か完全平方かを判断したか」「2つの数をどう探したか」を確認すると、つまずきの原因が見えやすくなります。

因数分解だけの問題に見えて、前の単元も関係する

• 正負の数の符号処理
• 文字式の計算
• 展開と乗法公式
• 方程式の移項や計算
• 途中式を残して考える習慣

因数分解で急につまずいたように見えても、実際には前の単元の計算が原因になっていることもあります。

中高一貫校の数学で、どの段階から見直すべきか判断しにくい場合は、学校の進度、定期テスト、宿題の負担、本人の理解状況を分けて確認することが大切です。家庭での見方を整理したい場合は、中高一貫個別指導の判断材料ページや、数学の学校対策も参考にしてください。

• 因数分解は、式をかけ算の形に直す計算です。
• 最初に共通因数を確認します。
• 2項なら平方差、3項なら完全平方やx²+bx+cを確認します。
• x²+bx+cでは、足して中央の係数、かけて最後の数になる2数を探します。
• マイナスを含む問題では、符号を先に整理します。
• 共通因数でくくった後も、かっこの中をさらに因数分解できるか確認します。
• 答えを出したら、展開して元の式に戻るか確認します。
• 勉強するときは、公式別の練習から混合問題へ進むと整理しやすくなります。