• 因数分解とは何かを、展開との関係から確認する
• 因数分解の公式と見分け方を早見表で比較する
• x²+bx+cで、和と積から2つの数を探す
• マイナスを含む問題で、2つの数の符号を判断する
• 共通因数と公式を続けて使う問題の解き方を確認する
• 途中式と展開による検算で、計算ミスを見つけやすくする

読みたい内容から確認する

展開と因数分解の関係

展開
(x + 2)(x + 3)
= x² + 5x + 6

因数分解
x² + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3)

因数分解では、式を見て「どのかけ算の形に戻せるか」を考えます。公式だけでなく、項数、符号、二乗の有無から式の特徴を見分けることが大切です。

1. すべての項を共通因数でくくれないかを見る
2. 2項なら、平方差かを見る
3. 3項で両端が二乗なら、完全平方かを見る
4. 先頭の係数が1なら、x²+bx+cとして考える
5. 先頭の係数が1でなければ、ax²+bx+cとして考える
6. 4項なら、2項ずつまとめられないかを見る
7. 答えを出した後に、さらに因数分解できないか確認する

例題1 数を共通因数としてくくる

6x + 9
= 3(2x + 3)

• 6xと9の両方を割り切れる数は3です。
• 3をかっこの外へ出し、それぞれを3で割った式をかっこの中に書きます。

例題2 数と文字を共通因数としてくくる

4x² + 8x
= 4x(x + 2)

• 4x²と8xには、4とxが共通しています。
• x²とxに共通する文字はxです。小さい方の次数に合わせてくくります。

共通因数を見つけるコツ

• 数字は、すべての係数を割り切れる数を探します。
• 文字は、すべての項に含まれているものだけを選びます。
• くくった後も、かっこの中をさらに因数分解できないか確認します。

例題3 平方差の公式を使う

x² - 25
= x² - 5²
= (x + 5)(x - 5)

• x²はxの二乗、25は5の二乗です。
• a²-b²=(a+b)(a-b)の形に当てはめます。
• かっこの符号は、片方がプラス、もう片方がマイナスになります。

平方差で確認すること

• 式が2項でできているか
• 2つの項がどちらも二乗の形か
• 項と項の間が足し算ではなく引き算か

x²+25のような二乗の和には、平方差の公式は使えません。

例題4 プラスの完全平方

x² + 6x + 9
= x² + 2・x・3 + 3²
= (x + 3)²

• x²はxの二乗、9は3の二乗です。
• 中央の6xが2・x・3になっていることを確認します。

例題5 マイナスの完全平方

x² - 8x + 16
= x² - 2・x・4 + 4²
= (x - 4)²

中央の項がマイナスの場合は、因数分解したかっこの中もマイナスになります。

平方差との違い

• 平方差：2項で、二乗と二乗の間がマイナス
• 完全平方：3項で、中央が±2ab

(x+m)(x+n)を展開して考える

(x + m)(x + n)
= x² + nx + mx + mn
= x² + (m + n)x + mn

この展開結果から、m+n=b、mn=cとなる2つの数を探せばよいことが分かります。

例題6 x²+5x+6を因数分解する

足して 5、かけて 6 になる数
→ 2 と 3

x² + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3)

1. 定数項6になるかけ算を考えます。
2. 1と6は足すと7、2と3は足すと5です。
3. 和が5、積が6になる2と3を選びます。
4. 2と3を使い、(x+2)(x+3)とします。

積から符号を判断する

• 積が正：2つの数は同じ符号
• 積が負：2つの数は異なる符号
• 積が正で和が正なら、2つともプラス
• 積が正で和が負なら、2つともマイナス

例題7 積が正で和が負になる場合

x² - 5x + 6

足して -5、かけて 6 になる数
→ -2 と -3

x² - 5x + 6
= (x - 2)(x - 3)

積がプラスで和がマイナスなので、2つの数はどちらもマイナスです。

例題8 積が負になる場合

x² - x - 6

足して -1、かけて -6 になる数
→ -3 と 2

x² - x - 6
= (x - 3)(x + 2)

積がマイナスなので、2つの数の符号は異なります。絶対値の大きい方をマイナスにすると、和が-1になります。

例題9 2x²+7x+3を因数分解する

先頭の係数と定数項をかける
2 × 3 = 6

かけて 6、足して 7 になる数
→ 6 と 1

中央の7xを6xとxに分ける
2x² + 7x + 3
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)

なぜ7xを6xとxに分けるのか

1. 先頭の係数2と定数項3をかけて6を作ります。
2. かけて6、足して7になる6と1を探します。
3. 中央の7xを6xとxに分けます。
4. 前半と後半をそれぞれ共通因数でくくります。
5. 同じ(x+3)ができたら、もう一度くくります。

中央の項を感覚で分けるのではなく、a×cとbを使って理由を確認することが大切です。

例題10 同じかっこを作る

ax + ay + bx + by
= a(x + y) + b(x + y)
= (a + b)(x + y)

• 前半のax+ayは、aでくくります。
• 後半のbx+byは、bでくくります。
• 共通する(x+y)を、もう一度くくります。

例題11 共通因数の後に平方差を使う

2x² - 18
= 2(x² - 9)
= 2(x² - 3²)
= 2(x + 3)(x - 3)

• 最初に共通因数2でくくります。
• かっこの中のx²-9は平方差です。
• 2(x²-9)で止めず、最後まで因数分解します。

例題12 共通因数の後に完全平方を使う

3x² + 12x + 12
= 3(x² + 4x + 4)
= 3(x² + 2・x・2 + 2²)
= 3(x + 2)²

• 最初に共通因数3でくくります。
• かっこの中のx²+4x+4は完全平方です。

共通因数だけを使う場合

8x² + 12x
= 4x(2x + 3)

何を共通因数としてくくったかが答えから分かるため、通常は1行で構いません。

x²+bx+cの場合

足して -5、かけて 6
→ -2、-3

x² - 5x + 6
= (x - 2)(x - 3)

符号を間違えやすい間は、探した2つの数を余白や途中式に残すと復習しやすくなります。

ax²+bx+cの場合

2x² + 7x + 3
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + (x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)

中央の項をどのように分けたかが重要なので、その行は省かずに残す方が安全です。

二次式の検算

(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6

中央の項が5x、定数項が6に戻ることを確認します。

平方差の検算

(x + 5)(x - 5)
= x² - 5x + 5x - 25
= x² - 25

中央の-5xと+5xが打ち消し合うため、2項の式に戻ります。

検算で確認したい点

• 元の式と各項の係数が一致しているか
• プラスとマイナスの符号が一致しているか
• 中央の項が正しく戻っているか
• 共通因数を取り残していないか

• 共通因数を確認せず、すぐに公式を探している
• 積が正か負かを確認せず、2つの数の符号を間違えている
• 完全平方で、中央の項が本当に±2abかを確認していない
• ax²+bx+cで、中央の項を分けた理由が分からないまま進めている
• かっこの中をさらに因数分解できるのに、途中で答えとしている
• 答えを展開して確かめず、符号や係数の間違いを見逃している

整数の組では因数分解できない式もある

x²+x+1では、足して1、かけて1になる整数の組はありません。

すべての二次式が、整数の組を使って因数分解できるわけではありません。数が見つからない場合は、問題の条件や学習範囲を確認し、無理に数を当てはめないようにしましょう。

1. 8x + 12
2. x² - 49
3. x² - 10x + 25
4. x² - x - 6
5. 2x² + 5x + 2
6. 3x² - 27

復習時のチェック項目

• □最初に共通因数を確認したか
• □項数と符号を確認したか
• □積と和を満たす2つの数を説明できるか
• □中央の項を分けた理由を説明できるか
• □最後まで因数分解できているか
• □展開して元の式に戻るか確認したか

復習記録の残し方

スマートフォンでは、表を横へスクロールして確認できます。

正解か不正解かだけでなく、「最初に何を見たか」を残すと、公式を選ぶ力の復習になります。